¿Qué es matemática?

-Toma, pues, una línea que esté cortada en dos segmentos desiguales y vuelve a cortar cada uno de los segmentos, el del género visible y el del inteligible, siguiendo la misma proporción. Entonces tendrás, clasificados según la mayor claridad u oscuridad de cada uno: en el mundo visible, un primer segmento, el de las imágenes. Llamo imágenes ante
todo a las sombras y, en segundo lugar, a las figuras que se forman en el agua y en todo lo que es compacto, pulido y brillante y a otras cosas semejantes, si es que me entiendes.
-Sí que te entiendo.
-En el segundo pon aquello de lo cual esto es imagen: los animales que nos rodean, todas las plantas y el género entero de las cosas fabricadas.
-Lo pongo -dijo.
-¿Accederías acaso -dije yo- a reconocer que lo visible se divide, en proporción a la verdad o a la carencia de ella, de modo que la imagen se halle, con respecto a aquello que imita, en la misma relación en que lo opinado con respecto a lo conocido?
-Desde luego que accedo -dijo.
-Considera, pues, ahora de qué modo hay que dividir el segmento de lo inteligible.
-¿Cómo?
-De modo que el alma se vea obligada a buscar la una de las partes sirviéndose, como de imágenes, de aquellas cosas que antes eran imitadas , partiendo de hipó tesis y encaminándose así, no hacia el principio, sino hacia la conclusión; y la segunda, partiendo también de una hipótesis, pero para llegar a un principio no hipotético y llevando a cabo su investigación con la sola ayuda de las ideas tomadas en sí mismas y sin valerse de las imá genes a que en la búsqueda de aquello recurría.
-No he comprendido de modo suficiente -dijo- eso de que hablas.
-Pues lo diré otra vez -contesté-. Y lo entenderás mejor después del siguiente preámbulo. Creo que sabes que quienes se ocupan de geometría, aritmética y otros estudios similares dan por supuestos los números impares y pares, las figuras, tres clases de ángulos y otras cosas emparentadas con éstas y distintas en cada caso; las adoptan
como hipótesis, procediendo igual que si las conocieran, y no se creen ya en el deber de dar ninguna explicación ni a sí mismos ni a los demás con respecto a lo que consideran como evidente para todos, y de ahí es de donde parten las sucesivas y consecuentes deducciones que les llevan finalmente a aquello cuya investigación se proponían.
-Sé perfectamente todo eso -dijo.
-¿Y no sabes también que se sirven de figuras visibles acerca de las cuales discurren, pero no pensando en ellas mismas, sino en aquello a que ellas se parecen, discurriendo, por ejemplo, acerca del cuadrado en sí y de su diagonal, pero no acerca del que ellos dibujan, e igualmente en los demás casos; y que así, las cosas modeladas y trazadas por ellos, de que son imágenes las sombras y reflejos producidos en el agua, las emplean, de modo que sean a su vez imágenes, en su deseo de ver aquellas cosas en sí que no pueden ser vistas de otra manera sino por medio del pensamiento?
-Tienes razón -dijo.
-Y así, de esta clase de objetos decía yo que era inteligible, pero que en su investigación se ve el alma obligada a servirse de hipótesis y, como no puede remontarse por encima de éstas, no se encamina al principio, sino que usa como imágenes aquellos mismos objetos, imitados a su vez por los de abajo, que, por comparación con éstos, son también ellos estimados y honrados como cosas palpables.
-Ya comprendo -dijo-; te refieres a lo que se hace en geometría y en las ciencias afines a ella.
-Pues bien, aprende ahora que sitúo en el segundo segmento de la región inteligible aquello a que alcanza por sí misma la razón valiéndose del poder dialéctico y considerando las hipótesis no como principios, sino como verdaderas hipótesis, es decir, peldaños y trampolines que la eleven hasta lo no hipotético, hasta el principio de todo; y una vez haya llegado a éste, irá pasando de una a otra de las deducciones que de él dependen hasta que de ese modo descienda a la conclusión sin recurrir en absoluto a nada sensible, antes bien, usando solamente de las ideas tomadas en sí mismas, pasando de una a otra y terminando en las ideas.
-Ya me doy cuenta -dijo-, aunque no perfectamente, pues me parece muy grande la empresa a que te refieres, de que lo que intentas es dejar sentado que es más clara la visión del ser y de lo inteligible que proporciona la ciencia dialéctica que la que proporcionan las llamadas artes, a las cuales sirven de principios las hipótesis; pues, aunque quienes las estudian se ven obligados a contemplar los objetos por medio del pensamiento y no de los sentidos, sin embargo, como no investigan remontándose al principio, sino partiendo de hipótesis, por eso te parece a ti que no adquieren conocimiento de esos objetos que son, empero, inteligibles cuando están en relación con un principio. Y creo también que a la operación de los geómetras y demás la llamas pensamiento, pero no conocimiento, porque el pensamiento es algo que está entre la simple creencia y el conocimiento.
-Lo has entendido -dije- con toda perfección. Ahora aplícame a los cuatro segmentos estas cuatro operaciones que realiza el alma: la inteligencia, al más elevado; el pensamiento, al segundo; al tercero dale la creencia y al último la imaginación; y ponlos en orden, considerando que cada uno de ellos participa tanto más de la claridad cuanto más participen de la verdad los objetos a que se aplica.
-Ya lo comprendo -dijo-; estoy de acuerdo y los ordeno como dices.
(Platón, República 510b ss)

Entre los practicantes de la filosofía de la matemática del siglo XX unos han sostenido que, conforme pensaban Frege o Russell, toda la Matemática puede construirse de manera puramente lógica u "analítica" (los logicistas). Otros piensan que la matemática tiene que basarse en la intuición sensible, y ningún concepto que no se pueda construir en la sensibilidad (o la imaginación), es decir, en una figura concreta en el espacio o el tiempo, tiene derecho de ciudadanía matemática (los intuicionistas). Otros creen que la matemática no necesita ni conceptos puros ni intuiciones específicamente matemáticas, porque puede construirse de una manera puramente sígnica, como un lenguaje sin referencia de ningún tipo (Hilbert, etc)
Creo que es evidente que, no sólo estas "clásicas" alternativas contemporáneas no son exhaustivas sino que mezclan, como mínimo, cuestiones ontológicas y epistemológicas. Creo, también, que lo que se conoce vulgarmente como "platonismo matemático" contiene bastante confusión, tanto en lo de "platonismo" como en lo de "matemático". Pero, para no perdernos en cuestiones secundarias, plantearía la cuestión: ¿qué es matemática?