Idea y Cantidad (reflexiones para una fundamentación "platónica" de la Lógica y la Matemática)

Al hilo de lo que decía en la entrada anterior, sobre la importancia de los cuantificadores (Todo, Algo, Nada…), retomo reflexiones (que ya he insinuado otras veces) y que pertenecen a lo que podríamos llamar el Álgebra lógico-filosófica, desde una concepción platónica. Las presento aquí (en esta y quizás dos o tres entradas próximas) por si algún amable comentarista tiene a bien evaluarlas, y encuentra en ellas problemas (que me puedan incluso llevar a desconsiderar mi proyecto de escribir, en el futuro, un tratado de cien mil páginas sobre este asunto).

Un concepto no es lo mismo que su extensión. Esta es, quizás, mi tesis fundamental aquí.

En la concepción estándar de la lógica moderna existe un axioma, llamado “de extensión” que dice que un concepto (una “clase”, en términos más matemáticos) es igual a (consiste en) su extensión, es decir, el conjunto de todas las entidades que “pertenecen” a ese clase. Por eso, se dice, dos conjuntos, A y B, son iguales si, y sólo si, para cada elemento, z, z pertenece a A cuando y sólo cuando z pertenece a B.

Esta definición o caracterización de lo que es un concepto (o una noción, o una entidad lógica… -usaré estos términos indistintamente-) es, en el mejor de los casos, circular (un poner la carreta delante de los bueyes), porque, para que podamos identificar a una entidad, z, como perteneciendo a A (frente a cierta entidad, y, no perteneciente a A) es preciso que z posea una propiedad (que no posee y) que le hace ser parte de la extensión de A. 

Y, desde luego, esa propiedad que hace de todas las cosas que son (un caso de) A ser (un caso de) A, es ni más ni menos que A (aunque este asunto no lo discutiré en este momento): lo que hace a los caballos ser caballos es tener la propiedad de ser caballos, y esa propiedad es, precisamente, Caballo (no “el concepto-de-caballo” o algún otro tipo de entidad que tuviera alguna relación lógicamente arbitraria con los caballos).

Mientras que, lógicamente hablando, no necesitamos, para conocer a A, conocer la extensión de A (es más, es lógicamente posible que A no tenga extensión, sino que sea una mera “idea” –un “posible”-), sí necesitamos conocer a A para conocer a todas aquellas entidades que la participan. 

Y, por supuesto (y esto es también fundamental), para conocer a esos participantes, para que haya diversos casos de A, es preciso que cada uno de ellos tenga, además de la propiedad de ser (un (caso de)) A, otras propiedades, de modo que cada uno resulte individuado.

Por muy estrecha que sea, pues, la relación entre un concepto (idea, noción, entidad…) y el conjunto de sus participantes, ambas nociones, concepto y extensión-del-concepto, no son idénticas. Y es lógicamente anterior la noción del propio concepto, sin atender a su extensión (que, en caso extremo, puede no existir siquiera).

Por eso propongo que se comience, no con el axioma de extensión sino con lo que llamo el Axioma de Intensión. Este axioma dice que una cosa (un concepto, una idea, una entidad...) se define por aquellos conceptos (ideas, entidades...) de los que participa esencialmente. Caballo no se define por el conjunto de los caballos, sino por aquellas propiedades más esenciales (universales, etc.) que hacen que el Caballo sea el Caballo. El conjunto N de los números naturales no se define por su extensión (o sea, enumerando a los números naturales concretos) sino por las propiedades esenciales (sean estas las que sean –en esto consiste la indagación propiamente racional-) que definen al Número (y, consecuentemente –no antecedentemente-, a todo número).

Comparemos ambos caminos (el que provee el axioma de extensión -o sea, la consideración extensional de las cosas- y el que provee el axioma de intensión):

El camino extensional tiene una clara motivación materialista-empirista. La idea no es más que el conjunto de las cosas concretas que la participan. Ahora bien, ¿cuáles son esas cosas concretas? No, como creen algunos ingenuamente, los nombres propios convencionales (‘Sócrates’, ‘Babieca’), porque estos se aplican múltiples veces (a los momentos de Sócrates...). En la búsqueda de los verdaderos concretos o nombre propiamente propios, se llega (como mostró el atomismo lógico, que era la filosofía más consecuente con el proyecto lógico extensionalista) al concepto puramente extensional de “esto”. El mundo, la realidad, sería el Todo universal de los Estos totalmente particulares. Todo concepto, todo universal, sería algún conjunto determinado de “esto”s. Las intensiones se montan sobre extensiones (y debería soñarse, pues, en reducirlas a ellas). 

Lamentablemente, el (los) “esto(s)”, por múltiple que se lo conciba (lo que es imposible), no permite discriminar a unos conceptos de otros. Así que, al parecer, las cualidades o universales son irreducibles. Los materialistas, como se quejaba Aristóteles, no explican cómo a partid del agua (o de las homeomerías de Anaxágoras, etc.) surge el orden. La forma es irreducible, y es lógica y ontológicamente anterior a la materia.

Pero, además, el camino extensionalista conduce a las paradojas (contradicciones) de la extensión. No es solo que una pura extensión, es decir, una pluralidad de iguales, sea un imposible (pues no permite discernir a unos de otros) sino que, dándola por supuesta, no puede impedir conjuntos absurdos, donde nunca se llega al máximo, al conjunto de todos (porque la suma de las sumas de las partes es siempre mayor que las partes), y donde un conjunto puede contenerse a sí mismo, creando bucles. Si no se pone restricciones (tipos, cualidades, formas...), no se puede evitar los monstruos.

La vía intensionalista (que tiene una motivación idealista y racionalista, “platónica”) conduce, en sentido contrario al extensionalismo, hasta conceptos (ideas, entidades…) indefinibles a partir de otros. Algunas nociones tienen que ser intensionalmente primeras, “anhipotéticas”. Una muestra a posteriori de que esas nociones son tales es que, cualquier intento de definirlas a partir de otras, las presupone. Por ejemplo, ideas como Ser, Uno, Otro, se entienden por sí mismas y definen a todas las demás.

Para el intensionalismo, una idea es una unidad, no una pluralidad o conjunto. Y cada idea, noción o entidad que quiera postularse, debe definirse explícitamente (debe “construirse”, como dirían algunos lógicos y matemáticos). No se puede ser más económico: hay, propiamente hablando, una sola entidad por género o esencia. Lo que santo Tomás decía de los ángeles (no hay varios ángeles de una sola especie, sino solo uno por especie, ya que no tienen materia que los multiplique) y que Leibniz (y antes Duns Scoto) extendió a toda entidad, es esencialmente el intensionalismo o platonismo. El concepto de extensión es secundario, abstracto. Es un pseudoconcepto (idea bastarda, según Timeo) que generamos cuando no conocemos la esencia individual de una cosa.

Esta vía tiene su propia aporética: si cada especie es una entidad, ¿cuántas entidades (es decir, casos de la Idea Ser) puede haber? Obviamente, solo Uno. Frente a lo Uno puro, la multiplicidad sería, también un pseudo-concepto, una abstracción.

Pero dejemos esas profundidades por el momento. Ahora quiero detenerme en una consecuencia muy importante (mayor que la cual no puede haberla, digamos) de adoptar una fundamentación lógica intensional: el intensionalismo hace imposibles las paradojas (contradicciones) de la lógica extensionalista, y, por ejemplo, hace inaplicable el famoso teorema de Gödel. ¿Cómo es esto?

El intensionalismo sostiene que cada entidad tiene que ser definida por ciertas propiedades, y, a la vez, cada entidad es una (nueva) propiedad (resultado, en el caso de las entidades complejas, de la síntesis o “symploké” de entidades o nociones más simples). Según eso, ¿cuántos caballos hay? Uno, en principio: el Caballo. Caballo, decía, no se identifica con una extensión de posibles caballos indiscriminados, todos iguales en fila hasta la eternidad. Existe un solo Caballo. Pero existe también Babieca (un solo Babieca), que es una entidad que participa de Caballo más de alguna otra propiedad. Es decir, cada entidad tiene que tener una definición precisa.

Vayamos al caso de los números, que son la madre del cordero de los problemas (porque las nociones numéricas son, precisamente, las nociones más próximas a la extensión pura –sin serlo del todo-). El pensamiento extensional se figura que el Número (limitémonos al número discreto y positivo:) N, es un conjunto, infinito (o indefinido, si se quiere): 1, 2, 3,… n. Pero, obviamente, nadie ha construido infinitos números. Los puntos suspensivos (‘…’) y ‘n’ no son números, sino una abstracción que colocamos en lugar de posibles números. Según el intensionalismo, esos números no existen para nosotros, pero considerarlos como existentes (pseudo-existentes) genera las paradojas de la extensión.

El teorema de Gödel, recuérdese, es válido referido a sistemas que contengan, al menos, el conjunto de los naturales, es decir, un conjunto infinito, definido de manera extensional. Pero sería inaplicable si construyésemos la aritmética intensionalmente, es decir, admitiendo que solo hay un número natural indefinido, es decir, el Número-Natural, y tantos números naturales concretos como entidades se pudiesen “construir” formalmente, y que participasen de Número-Natural. Lo que necesitamos, por tanto, es eliminar la llamada “inducción matemática”.

Por cierto, este “constructivismo” o “finitismo” intensionalista no es lo mismo que el constructivismo intuicionista (de Kant y los intuicionistas modernos), que tienen una base empirista: el intensionalismo no exige que, para construir un número, podamos “contarlo con los dedos”, sino que podamos definirlo, de manera precisa y determinada, a partir de ideas más simples o fundamentales.

Dejo al lector que evalúe si todo esto tiene poco, mucho o ningún sentido y utilidad. En especial, ¿qué consecuencias tendría esto para la Matemática? ¿Lo "deja todo como está" o sugiere otra Matemática...?