Matemática y Metafísica, ¿un parecido engañoso? I

He estado intentando mostrar que la Metafísica es heterogénea con la Física o Ciencia Natural, y que, por tanto, el Naturalismo epistemológico se equivoca al exigir el mismo método para toda actividad teórica. La Metafísica es apriorística e incontrastable empíricamente (como lo es la propia tesis del Naturalismo). ¿Es incontrastable, quizás, como lo es la Matemática…? ¿Qué relación hay entre Matemática y Metafísica? Me gustaría dedicar unas reflexiones a esta cuestión, insertándola en la cuestión de la relación entre Metafísica y Física.

Seguiremos suponiendo que por Metafísica hay que entender la investigación racional de la naturaleza última o esencial de toda realidad. Qué haya que entender por Matemática será parte de lo que discutamos, aunque doy por hecho que, intuitivamente, uno puede percibir que cosas como la Aritmética o la Topología son matemáticas, y cosas como la mecánica cuántica y la sociología, o como el debate mente-cuerpo, no lo son (aunque incluyan elementos matemáticos, claramente discernibles).

Como las matemáticas no están o no parecen estar sujetas a la metodología de las ciencias naturales, es decir, a la contrastación y falsabilidad empírica, ni (seguramente “por tanto”) al carácter siempre hipotético de las teorías científico-naturales, sino que viven, o parecen vivir, en un mundo exento de la contingencia, muchos metafísicos, sobre todo los de espíritu más racionalista, conscientes de que su empresa es también una empresa teórica apriorística, se han sentido inclinados a amar las matemáticas y ver en ellas un puente, más o menos llano, hacia la legitimidad de la Metafísica. Algunos de ellos, de hecho, han sido buenos matemáticos o han tenido una buena formación matemática (Descartes, Leibniz, Husserl…), y tampoco es inusual que algunos matemáticos hayan seguido el camino en el otro sentido, desde la Matemática hacia una metafísica racionalista (piénsese en Gödel o Penrose, por ejemplo). Si tomamos literalmente sus intenciones, la Metafísica no sería más que algo así como matemática aplicada al ámbito más general y (/o) sustantivo. Han parecido creer, estos matematófilos, que el método matemático podía trasplantarse de un lugar a otro. De hecho se han extrañado a menudo de que no se haya hecho así antes. Sin embargo, cuando lo han intentado ellos, y han querido llevar el rigor y la claridad matemáticas a los asuntos de la Metafísica, el resultado no ha sido ni mucho menos convincente. Todo el mundo acepta la geometría analítica cartesiana, o el cálculo diferencial de Leibniz, pero solo unos pocos aceptan el argumento ontológico o la armonía preestablecida, y muchos otros hombres inteligentes los rechazan. ¿Por qué es esto? ¿No estará equivocada su pretensión de que la Metafísica y la Matemática comparten carácter y método? ¿Pueden los métodos trasplantarse de un lugar a otro? ¿No será la Metafísica tan heterogénea a la Matemática como lo es a la Física?

Lo que intentaré argumentar es que, en efecto, están equivocados quienes intentan asimilar la Metafísica a las Matemáticas. Son ámbitos teóricos heterogéneos, mucho más heterogéneos que los son, entre sí, la Matemática y la Física, y tanto o casi tanto como lo son Metafísica y Física. Metafísica y Matemática son heterogéneas tanto en sus objetos (o en el modo de considerar los objetos) como en su metodología. Realmente, ese “tanto - como” está de más, porque no se puede separar un modo de considerar la realidad, de una determinada metodología. Los métodos de la Matemática no sirven en la Metafísica, ni a la inversa, aunque ambos terrenos puedan influirse uno al otro indirectamente. Si la Metafísica no puede esperar ni tiene que temer nada del método empírico ni, por tanto, directamente de la ciencia natural (aunque pueda sufrir una influencia de segundo orden, metacientífica), tampoco de la matemática.

Si estoy en lo cierto, pues, la mayoría de los racionalistas “ortodoxos” estarían equivocados en su matematicismo metafísico. La excepción a esto es (ya no debería sorprendernos) Platón. Platón no cayó en el matematicismo. Quizás es el único gran racionalista que no ha caído en la “tentación pitagórica” (como la llama Gómez Pin, aunque con motivos diferentes). Y creo que Platón es el único que nos da una caracterización adecuada de lo que son Metafísica y Matemáticas y de la relación entre ellas.


Para discutir esto debemos discutir lo siguiente: ¿qué es la Matemática: de qué trata la Matemática, y cómo, por tanto, no tiene más remedio que tratarlo? Hay diversas concepciones de qué eso es en lo que consiste la Matemática. 

     1) La concepción Racionalista acerca de la Matemática (en adelante, simplemente “Racionalista”) piensa que la Matemática es la Ciencia de las Formas puras (o de las Estructuras, o algo semejante), desencarnadas de toda materia. También podría definirse, en términos menos precisos, como ciencia de las Ideas simples, o Ideología pura. El método propio de esta ciencia sería el Análisis conceptual o “factorización eidética”, según podríamos llamarla también. Recuérdese el Ars Combinatoria en la que pensaba Leibniz (y que inspiró luego a Gödel): todos los conceptos podrían reducirse, idealmente, a sus conceptos “primos”, nociones simples e irreducibles, que servirían de elementos conceptualmente atómicos para los demás conceptos, complejos o moleculares. Esta concepción suele ir unida a la identificación de la Matemática con la Lógica (es decir, de la forma pura de todo pensamiento), o con una extensión de esta. Por supuesto, la Matemática no está, según esta concepción, restringida al estudio de formas espaciales y/o temporales, sino que puede ocuparse de las más abstractas y sutiles de las formas.

     2) Otra concepción de la Matemática es lo que podríamos llamar un Empirismo trascendental acerca de la Matemática, o Intuicionismo o Constructivismo. Con ello quiero referirme a esas teorías que, a diferencia del Racionalismo, creen que la Matemática está indisolublemente unida a los conceptos acerca de entidades o propiedades materiales y naturales, como el Espacio y quizás el Tiempo, aunque no están sujetas a falsación en el sentido de las Ciencias Naturales porque aquello de lo que tratan está en toda experiencia natural posible, o es “condición de posibilidad” de toda experiencia empírica posibles (es trascendental).

En este grupo hay que colocar las concepciones aristotélica y kantiana, aunque difieran en cuanto a ser realista la una e idealista la otra. Aristóteles definía la Matemática como el estudio de aquello que es separable por (la máxima) abstracción, pero no realmente, de la materia. Si la Física estudia lo Chato, la Matemática estudia lo Cóncavo. La Matemática es, entonces, el estudio de la Cantidad, en sus dos variantes, Discreta y Continua.

 La concepción kantiana, por su parte, dice que la Matemática es la Ciencia de la Sensibilidad a priori o en estado puro, es decir, del Espacio y del Tiempo en sí. La Matemática se ocupa, pues, de lo verificable empíricamente, pero de lo verificable siempre. El método de la Matemática no es ya el analítico (este es visto como una reconstrucción posterior, no una arte del descubrimiento), sino el método constructivista o experimental, o “intuicionista”: la matemática comienza por la intuición, en la que se construye una figura, o una entidad matemática en general (una serie, etc.), y esa intuición es luego racionalizada, de manera semejante a lo que sucede en la Física, solo que aquí la proximidad entre intuición y conceptualización es máxima. Kant y el trascendentalismo ocupan el término medio entre el Racionalismo y el Empirismo.

     3) Una tercera concepción de la Matemática será la concepción pura o radicalmente Empirista (Naturalismo epistemológico monista, digamos), según la cual la Matemática es solo la parte más general y recalcitrante a la falsación, pero parte al fin y al cabo, de la única Ciencia, la empírica. Por lo que nos parece que las verdades matemáticas se verificarán necesariamente siempre, es porque son la parte más alejada del tribunal de la contingencia, no porque la Matemática sea completamente inmune a su influencia.

El convencionalismo matemático (la teoría humeana de la aritmética –no de la geometría-), que podríamos considerar como una cuarta teoría, según la cual la Matemática no es falsable (aunque sí maravillosamente útil o imprescindible en la Ciencia Natural) porque “en verdad” sería una pura convención sígnica, es una teoría que quiere obtener toda la rentabilidad epistemológica del Racionalismo (el universalismo y necesitarismo matemático) pero con solo el compromiso ontológico del Naturalismo (no son más que convenios humanos). Para mi gusto, no consigue ninguna de ambas cosas, porque son incompatibles: es incompatible que las matemáticas sean convenciones humanas y que, a la vez, sus asertos sean proposiciones inmodificables y a la vez imprescindibles en la Ciencia acerca del mundo, de modo que no podrían servir igual otras convenciones. O eso, o bien yo no entiendo en absoluto esta teoría. Prescindiré de ella.


Pues bien, ¿qué tiene que decir o es más probable que diga cada una de esas tres concepciones, el Racionalismo, el Trascendentalismo y el Empirismo o Naturalismo, acerca de la relación entre Matemática y Metafísica?

     a) El Racionalismo, según decía al principio, tiene todas las papeletas para creer que la Matemática, considerada profundamente, es lo mismo o casi lo mismo que la Metafísica, y que es un mero accidente histórico que los matemáticos hayan vivido separados de los metafísicos y concentrados en problema de “mecánica”, como decía Descartes. Si sometemos la Matemática a un proceso de generalización o desmaterialización, llegamos a un Álgebra completamente abstracta, que no es más que el mundo de las Formas puras. Aquí, las nociones de Esencia y Existencia, Género y Especie, etc., que son las que ocupan al Metafísico, en su aspectos más general (la Ontología general), tienen su lugar adecuado. Cuando menos, el racionalismo sostendrá que la Metafísica y la Matemática son ciencias hermanas en cuanto al método. Ambas se dedican al análisis de ideas abstractas e inmateriales. Quizás una es más general o más fundamental que la otra (quizás la Metafísica es una Matemática aplicada a las entidades sustantivas primeras; quizás, al contrario, la Matemática es una Metafísica u Ontología reducida a cierto ámbito de entidades no totalmente últimas), pero son homogéneas. Esto puede ir unido, decía, a que la Lógica es también lo mismo, en el fondo, que la Matemática y la Metafísica (la Ontología general, principalmente). 

¿Cómo se explica, entonces, que cuando un buen matemático, de la talla de Descartes, se toma la molestia de demostrarnos la inmortalidad del alma, o la existencia necesaria de la perfección, o, sin ir más lejos, la identidad u homogeneidad de Matemática y Metafísica, no consiga ni mucho menos tanto asentimiento como cuando trata de asuntos de Geometría? Esto se debería, según Descartes, a que la mayoría de las personas “están tan acostumbradas a imaginar, en lugar de pensar, que creen que todo lo que no se puede imaginar no se puede concebir”. Sin embargo, es dudoso que esta sea la causa. Hoy en día hay gente que puede entender las álgebras más abstractas, y es incapaz de solucionar el problema de si el argumento ontológico es válido o no (y no se trata, como equivocadamente puede pensar alguno, de que se dan cuenta de que es inválido, porque hay muchos otros tipos inteligentes que creen que es válido o que dudan de ello –por ejemplo, el mayor lógico del siglo XX, Gödel, creía que era válido, e intentó formalizarlo, sin mucho éxito, eso sí-). Si tiene razón el racionalista en que el apego a lo sensible impide a muchos acceder a la Metafísica, habrá al menos que reconocer que, puesto que no les impide acceder a lo más abstracto de la Matemática, tiene que haber alguna diferencia importante, que hace de la Matemática algo más afín a lo material (al Espacio y al Tiempo). Pero ¿es creíble siquiera que el problema que tienen los metafísicos materialistas es que están apegados a los sentidos? No parece. Quizás hay alguna razón intrínseca que hace que la Matemática no sea una buena guía hacia la Metafísica, y que sus métodos y resultados sean dispares.

     b) El “Empirismo trascendental” (Aristóteles, Kant), a diferencia del Racionalismo, niega que la Matemática pueda auxiliar directamente al metafísico. De hecho, aquí encuentra Kant la más desorientadora identificación, que conduce al metafísico fuera del aire donde es posible volar (lo figurable), hacia el vacío innavegable de la razón pura. El matemático trata de lo empírico, así que no puede servirnos de referencia cuando queremos tratar de lo que va más allá de toda experiencia empírica posible. Es verdad que no habrá nunca un experimento empírico que false que dos y dos son cuatro, pero es verdad que lo verificarán todos, porque se trata de una experiencia del propio espacio-tiempo. En cambio, la existencia de la mente, o de Dios, no puede ser ni falsado ni verificado en una o en todas las experiencias, porque no es una idea de una entidad material. Lo Matemático está en toda experiencia empírica posible; la Metafísica no lo está en ninguna. Por eso, dice, no hay esperanza de que la Metafísica se convierta en una Ciencia.

También Aristóteles cree que no hay que confundir esa ciencia buscada (y llena de aporías) que es la Metafísica, con la Matemática. La Matemática trata de lo separable no separado, es decir, de lo material abstracto; la Metafísica, de lo realmente separado (pero ¿separable, para nosotros?), o sea, de lo inmaterial o espiritual concreto. El error pitagórico, emulado por Platón, habría consistido en confundir a los números, superficies, etc., con los espíritus, la Matemática con la Filosofía primera. Dios y otras entidades semejantes, si existen, son reales (a diferencia de los Números, que son meramente ideales), pero inmateriales e irrepresentables materialmente (a diferencia, otra vez, de los Números, que son materiales o representados materialmente). Dado que Kant niega que pueda haber ese tipo de separación, requerida por la Metafísica, para nosotros, según él, ese es un sueño siempre imposible. A lo sumo podremos llamar Metafísica (como de hecho hace, por otra parte, Kant) a las condiciones más generales de posibilidad de un ámbito de la realidad: Metafísica de la Naturaleza, Metafísica de las Costumbres. Pero no para referirnos a algo sustancial, como Dios o la Mente o la Libertad.

     c) ¿Qué diría, por fin, de la Metafísica y su relación con la Matemática, un Naturalista de lo matemático? Curiosamente, aunque comparte con Aristóteles y Kant que la matemática es, por remota o abstractamente que se quiera, parte de lo natural, a la vez puede aceptar que también la Metafísica lo es, siempre que por Metafísica se entienda, precisamente, la parte más general de la ciencia natural. Y puede, por tanto, aceptar también, como el cartesiano, que la Metafísica sea la ciencia de las formas más puras, es decir, de las nociones más alejadas de y más débilmente conectadas con la experiencia empírica. De la Metafísica podría aceptar, entonces, que la identifiquemos con la Matemática, o la asimilemos metodológicamente a ella, aunque sus contenidos sean más universales o de otro tipo. En la práctica, puede no ser fácil distinguir a un cartesiano de un naturalista holista. Ambos especulan sobre la estructura básica de las cosas, sin temer ni esperar que los datos empíricos les afecten. Aunque el naturalista siempre reservará esa posibilidad.

Pero la explicación naturalista, como vimos, no salva a la Metafísica, y, por semejantes razones, no salva la Matemática. Es inconcebible (y quien crea que no lo es, tiene que mostrar la concebibilidad) que el teorema de Pitágoras no sea correcto. No se trata (no se confunda) de si este mundo material (sea el único o no que hay) tiene una geometría euclídea o de otro tipo (eso no es matemática, sino física), sino si de si, en la geometría euclídea, por ejemplo, es concebible que cambien las propiedades matemáticas hasta convertir algo que hoy es verdadero en algo falso. Y tampoco se trata de si podemos estar equivocados (quizás en casi todo podemos estar equivocados –no en todo-), sino de si la propia naturaleza de las cosas matemáticas (no nuestra subjetividad) admite el cambio.

Creo que ninguna de estas concepciones explica adecuadamente la relación entre Metafísica y Matemáticas. ¿A qué se debe? A que malentienden al menos alguna de las dos partes, la Matemática o la Metafísica. Continuaré con esto en próximas entradas.